為什麼同伴會出賣你？從「囚徒困境」來看共犯為什麼先招了！——《大話題：賽局理論》

合作與私利的權衡：囚徒困境

最廣為人知的賽局理論悖論是囚徒困境，這個賽局由加拿大數學家塔克所命名。塔克教授的囚徒困境賽局就像是好萊塢的犯罪劇情片，有人提供認罪協商給兩名嫌疑犯去供出對方。這個賽局說明了為共同利益而採取聯合行動十分困難，因為人們往往追求私利。

囚徒困境賽局中的誘因屢見不鮮，很適合拿來分析許多領域的問題。從經濟學中公司的競爭，到社會學中的社會規範，到心理學中的決策，到生物學中動物競爭稀缺資源，再到資訊工程中電腦系統競爭頻寬。

囚徒困境是指兩名囚犯陷入「是否要認罪」的心理狀態。圖／《大話題：賽局理論》

阿倫和阿班因為合夥偷車而被捕。警方懷疑他們還涉嫌一起肇事逃逸案件，但沒有足夠的證據起訴他們。兩人被帶到不同的房間分開偵訊。

阿倫和阿班都有兩個可能的行動：保持沉默或認罪。因此，賽局中總共有四種結果。

阿倫沉默，阿班沉默。阿倫認罪，阿班沉默。阿倫沉默，阿班認罪。阿倫認罪，阿班認罪。

刑期長短受到共犯是否認罪的影響。圖／《大話題：賽局理論》

我們可以用策略型式表達這個囚徒困境。支付矩陣中，列代表阿倫的可能行動，欄代表阿班的可能行動。我們在行與列的相交處填入每位參與者的報酬，在本例中也就是他們各自的刑期。

如果兩人都沉默，兩人都將因偷車而服刑一年。這當然不好，所以報酬是負值（阿倫：-1，阿班：-1）。如果兩人都認罪，兩人都要服刑十年（阿倫：-10，阿班：-10）。

囚徒都知道這個支付矩陣，也都知道彼此面對相同的矩陣。

考慮到先認罪的人可以免去刑責，將導致四種可能結果。圖／《大話題：賽局理論》

合作或私利考量下的「最佳解」不同

這是一個同步賽局：即使並非字面意義上的同步，但由於兩人身處不同的偵訊室，做決定時也不知道對方的選擇，因此可以視為同步。

請注意，以策略型式表現賽局，並不意味著我們指出了可能會發生什麼事。我們只是列出所有可能結果，無論合理與否，並且把每個結果中參與者的報酬記下來。

現在，寫下囚徒困境賽局的策略型式後，我們可以嘗試分析可能發生的結果。

兩名囚犯就彼此的利益思考，形成「囚犯困境」的心理狀態。圖／《大話題：賽局理論》

很明顯，如果阿倫和阿班可以共同做決定，兩人會選擇一起沉默，只需要坐牢一年。

但這並非均衡的結果。對阿倫來說，「認罪」的策略絕對優於「沉默」：不管他預期阿班會怎麼做，他的最佳回應都是認罪。

以個人來說，最佳的回應便是「認罪」。圖／《大話題：賽局理論》

同樣地，不管阿班預期阿倫會怎麼做，阿班的最佳回應都是認罪。

在囚徒困境中，納許均衡是兩名參與者都認罪。這個結果的標準寫法是：

｛ 認罪，認罪 ｝

前者是橫列參與者（阿倫）的行動選擇，後者是直欄參與者（阿班）的行動選擇。在均衡中，雙方都要坐牢十年。

即使雙方最佳利益為「沉默」，但在囚徒困境下卻會選擇「認罪」。圖／《大話題：賽局理論》

這屬於柏雷多效率嗎？

一個有趣的問題是，囚徒困境賽局中的納許均衡是否為柏雷多效率？這個資源分配效率的概念是以義大利經濟學家柏雷多（1848 – 1923）來命名。如果再也沒有其他可能的結果可以使至少一人變得更好，但沒有任何人變糟，這樣的結果就是柏雷多效率。

囚徒困境賽局中的納許均衡並非柏雷多效率，因為如果兩人都沉默，每個囚徒都可以變得更好。這也就是「囚徒困境」名稱的由來。

不過，在多數的賽局中，納許均衡就是柏雷多效率。例如在前面電影檔期的賽局中，沒有其他的結果能使雙方以不損及對方的方式獲得更高利益。

囚徒困境並非柏雷多效率，因雙方若選擇共同沉默將能有更好的結果。圖／《大話題：賽局理論》

——本文摘自《大話題：賽局理論》，2023 年 3 月，大家出版出版，未經同意請勿轉載。

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