任何整數裡都藏著的神秘數字：數字 9 可以創造出什麼樣的神奇火花？——《數學大觀念》

小時候，我最喜歡 9 這個數字了，因為它似乎蘊含許多神奇的特性。我想給你看一個例子，請照著下列充滿魔力的數學指示：

1. 想一個在 1 到 10 之間的數（如果不滿意，你也可以挑更大的整數並使用計算機）。
2. 將這個數乘以 3。
3. 然後加上 6。
4. 把得到的數字再乘以 3。
5. 如果你願意的話，把這個數字再乘以 2。
6. 將這個數字的所有位數相加，如果是個位數，就停止運算。
7. 如果是二位數，那麼將兩個位數再次相加。
8. 專心想著你的答案。

直覺告訴我你正在想的數字是 9，對不對？（如果不是的話，你或許該回過頭驗算一下。）

是什麼讓 9 這個數字如此神奇？我們會在本章看到它的一些神奇特性，然後我們甚至會考慮有另一個世界的存在，在那裡 12 和3 的功能相等而且完全合理！

觀察 9 的倍數

9 的第一個神奇特性可以從它的倍數中看出來：

9、18、27、36、45、54、63、72、81、90、99、108、117、126、135、144⋯⋯

這些數目有什麼共通點？

如果你將每個數字各自的位數相加，似乎每次都會得到 9。

讓我們挑其中幾個來試試看：18 的各個位數之和是 1 + 8 = 9；27 是 2 + 7 = 9；144 則是 1 + 4 + 4 = 9。但是慢著，這裡有一個例外：99 的位數和是 18，不過 18 本身仍是 9 的倍數。所以我們得到下面這個重要結論，這件事你可能在小學就學過了，而我們稍後也會在這一章中解釋：

如果一個數字是 9 的倍數，那麼它的各個位數之和也必定是 9 的倍數（反之亦然）。

舉例來說，123,456,789 的位數和是 45（9 的倍數），所以這個數就是 9 的倍數。反過來說，314,159 的位數和是 23（非 9 的倍數），所以這個數就不是 9 的倍數。

整數的強大性質

讓我們用這個規則來了解前面的那個魔術戲法，並仔細檢驗其中的代數。你先想一個數字，我們稱之為N。乘上三倍之後你會得到 3N，在下一步變成 3N + 6。將這個數字再乘上三倍則是 3（3N + 6）= 9N + 18， 也就是 9（N + 2）。如果你決定要再乘上 2， 就會得到 18N + 36 = 9（2N+4）；但不管有沒有乘上 2，你最後的答案都會是9 乘上一個整數，所以最後一定會得到 9 的倍數。（編按：這就是整數的強大性質之一，任何一個 a 倍數乘上任意整數，仍然還是 a 的倍數）

當你計算這個數字的各個位數之和，你一定會再度得到一個 9 的倍數（可能是 9 或 18 或 27 或 36），而且這些數目的各個位數之和必定為 9。

還有另一個我也很喜歡用的魔術戲法，它是前面那個魔術的變形。找一個有計算機的人，請他從下列四位數中挑出一個：

3141 或 2718 或 2358 或 9999

這些數字分別是 π（詳見第八章）的前四位數、e（詳見第十章）的前四位數、連續幾個費氏數（詳見第五章），以及四位數的最大值。

請他將所選的四位數乘上任何一個三位數，結果會是一個你不可能會知道的六位數或七位數。接下來請他在腦海中圈出答案中的任一位數，但不要是 0（因為它已經像是個圓圈了！），然後要他以任意順序將所有沒圈起來的數字唸出來，並且專心想著那個剩下的數字。你只要稍加注意，就可以成功地揭開答案了。

又是 9！

所以說祕密是什麼呢？請注意，能選擇的這四個數字都是 9 的倍數。

既然是從一個 9 的倍數開始，那麼乘上一個整數之後結果仍然會是 9 的倍數，因此它的位數和也一定會是 9 的倍數。隨著數字被逐一唸出，你只要將它們統統相加即可，被藏起來的那一個數字在加上之後能使總和變成 9 的倍數。舉例來說，假設他唸出 5、0、2、2、6 和 1，這些數字的總和是 16，那麼被藏起來的數字一定是 2，因為加上之後能得到最接近的 9 的倍數，也就是18；如果唸出來的數字是1、1、2、3、5、8，總和為 20，那麼隱藏的數字一定是 7，這樣才能得到 27；假設你將唸出的數字相加得到 18，他藏起來的是哪個數字？由於我們告訴過他不要圈選 0，所以缺少的數字一定是9。

謎底揭曉

但為什麼一個 9 的倍數其位數和永遠是 9 的倍數呢？讓我們來看看下面這個例子，當 3456 以 10 的次方項表示時，看起來如下式

3456 = (3 × 1000) + (4 × 100) + (5 × 10) + 6

= 3(999 + 1) + 4(99 + 1) + 5(9 + 1) + 6

= 3(999) + 4(99) + 5(9) + 3 + 4 + 5 + 6

= （9 的倍數）+ 18

= （9 的倍數）

運用同樣的邏輯，如果一個數字的位數和是 9 的倍數，則此數本身一定也是 9 的倍數（反之亦然：任何一個 9 的倍數其位數和一定是 9 的倍數）。

編按：任何一個整數，都可以寫成 9 的倍數＋各個位數數字的和，如同上式第四行，因此只要各個位數數字的和是 9 的倍數，整個數字就會是 9 的倍數。

——本文摘自《數學大觀念：全面理解從數字到微積分的12大觀念》，2023 年 3 月，貓頭鷹出版，未經同意請勿轉載。

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