分数阶微积分——生物学的微积分

关键词：分数阶微积分，反常扩散，复杂系统

“有些科学家是登山者——他们不断将自己推向至高点。对我来说，这是占主导的，我试图攀登高峰，看见更多风景。其他科学家是洞穴学家——他们深入幽微，穿过泥泞，最终发现隐藏的宝藏。”Vassili Kolokoltsov说道。
登山和探索洞穴之间的区别，让 Kolokoltsov 意识到这就像是两种科学研究模式。“这两方面在科学中都非常重要。而分数阶微积分（fractional calculus）为两者都提供了可能性。”
图1. 科学研究的两种方式——攀登高峰和深入幽微。
关于分数阶微积分领域的研究兴趣最近在持续增加，因为分数阶微分方程（fractional differential equations）可以用来模拟许多复杂现象，从地下水污染、心脏电动力学，到新材料设计，在生物、物理和金融等领域有很多应用。
“人们最初谈论的是整数。之后在某个时刻，他们意识到整数无法描述一切，于是发展出了分数。”Kolokoltsov 解释道。类似地，人们最开始将连续的乘法描述为一个数的整数幂。而事实证明，将其扩展到分数幂也非常有用，例如一个数的平方根就是它的1/2次幂，而立方根则是它的1/3次幂。
对于数学运算也可以做类似的事情。如果你反复进行一个数学运算，这就像对运算进行整数次幂的运算。正如同可以有数的分数幂一样，也可以有运算的分数幂。
Kolokoltsov 和同事们研究微积分运算中的微分和积分，并探讨如何用微分方程在数学上描述变化。几个世纪以来，微分方程一直是数学的重要组成部分，对于描述我们周围的世界至关重要，从描述牛顿运动定律到动物身上的斑图都有应用。
分数阶微积分，则是一个更加复杂的故事。分数阶微积分是对函数进行非整数阶积分和微分的定量分析。阶数可以是实数、复数，甚至是变量的函数。关于非整数阶微分的意义的第一次记录出现在1695年洛必达（Guillaume de l’Hôpital）写给莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）的一封信中。莱布尼茨与牛顿是同时代人，并与他各自独立但共同发明了无穷小微积分。从那时起，许多贡献者为分数阶微分和积分提供了定义，分数阶微积分的理论和应用得到了很大的扩展。

图. 微分方程描述豹子的斑纹图案，分数阶微分方程则可以描述其细胞内的活动。

一个关键概念是反常扩散（anomalous diffusion）。经典的扩散，如金属中热量的传播，是用微分方程来描述。经典扩散的特点是，粒子的位移与时间之间存在线性关系。而如果这种关系是非线性的，那么就会出现反常扩散，这可以用分数阶微分方程来描述。
事实证明，细胞内的所有输运现象也受反常扩散的支配。所以，分数阶微积分实际上是生物学的微积分，适用于我们细胞中正在发生的所有过程。
分数阶思维（Fractional-order thinking，FOT），是使用分数阶微积分进行思考的一种方式。例如，在整数之间有非整数。在逻辑0和逻辑1之间，有模糊逻辑。许多研究领域都包含了分数阶思维，例如，自相似、无标度或标度不变性、幂律、长程相关，以及分数噪声1/fα。
参考链接：[1] https://plus.maths.org/content/calculus-of-the-complex[2] A New Triangle: Fractional Calculus, Renormalization Group, and Machine Learning, https://asmedigitalcollection.asme.org/IDETC-CIE/proceedings-abstract/IDETC-CIE2021/85437/1128150
编译 | 梁金

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